全国重点名校2012高三数学第二轮名师精编-5 等差等比

发布于:2021-10-23 10:11:33

高三数学二轮复*第五讲 高三数学二轮复*第五讲 等差等比
★★★高考在考什么 高考在考什么 考题回放】 【考题回放】 1.在等差数列 {a n } 中, a 6 = a 3 + a8 ,则 S 9 = ( A ) A. 0 B. 1 C. ? 1 D. -1 或 1 2.(安徽)直角三角形三边成等比数列,公比为 q ,则 q 2 的值为( D ) A. 2 B.

5 ?1 2

C.
2

5 +1 2

D.

5 ±1 2
B )

3.已知数列{ an }的前 n 项和 S n = n ? 9n ,第 k 项满足 5 < ak < 8 ,则 k = ( A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

4.已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ,且 数 n 的个数是( D ) A.2 B.3 C.4

An 7 n + 45 a = ,则使得 n 为整数的正整 Bn n+3 bn

D.5

5.设等差数列 {an } 的公差 d 不为 0, a1 = 9d .若 ak 是 a1 与 a2 k 的等比中项,则 k = ( B ) A.2 B.4 C.6 D.8 .

6. 等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , 2 S 2 , 3S3 成等差数列,则 {an } 的公比为 ★★★高考要考什么 高考要考什么 等差数列的证明方法:1. 定义法:2.等差中项:对于数列 {a n } ,若 2a n +1 = a n + a n + 2 等差数列的证明方法: 等差数列的通项公式: 等差数列的通项公式: a n = a1 + ( n ? 1) d ------该公式整理后是关于 n 的一次函数 等差数列的前 n 项和 1. S n =
n(a1 + a n ) 2

1 3

2.

S n = na1 +

n(n ? 1) d 2

3. S n = An + Bn
2

等差中项: 等差中项: 如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。即: A = 且 m ≤ n ,公差为 d ,则有 a n = a m + ( n ? m) d

a+b 或 2A = a + b 2

等差数列的性质: 等差数列任意两项间的关系: 如果 a n 是等差数列的第 n 项,a m 是等差数列的第 m 项, 等差数列的性质:1.

L 2. 对于等差数列 {a n } , n + m = p + q , a n + a m = a p + a q 。 若 则 也就是:a +an =a2 +an? =a +an?2 =L , 1 1 3
*

3.若数列 {a n } 是等差数列, S n 是其前 n 项的和, k ∈ N ,那么 S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k 成等差数列。

64444444444S 3 k 44444444448 4 7 4 a1 + a2 + a + L + a + ak +1 + L + a2 k + a2 k +1 + L + a3k 如下图所示: 1444 3 444 k 2 3 14 244 4 3 144 44 2 3
4.设数列 {a n } 是等差数列, S 奇 是奇数项的和, S 偶 是偶数项项的和, S n 是前 n 项的和,则有如下性质: 1 ○当 n 为偶数时, S 偶 ? S 奇 =
Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

n +1 n S d , ○当 n 为奇数时,则 S 奇 ? S 偶 = a中 , 奇 = 2 , 2 n S偶
a n +1 = q(q ≠ 0) ②等比中项:若 a n a n + 2 an
2 = a n +1 ,则数列 {a n } 是等比数

等比数列的判定方法: 等比数列的判定方法:①定义法:若 方法 列。

等比数列的通项公式: 等比数列的通项公式:如果等比数列 {a n } 的首项是 a1 ,公比是 q ,则等比数列的通项为 a n = a1 q

n ?1



项和: 1 等比数列的前 n 项和:○ S n =

a1 (1 ? q n ) (q ≠ 1) 1? q

2 ○ Sn =

a1 ? a n q (q ≠ 1) 1? q

3 ○当 q = 1 时, S n = na1
2

等比中项: 等比中项。那么 G = ab 。 等比中项:如果使 a , G , b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项 等比中项 等比数列的性质: 等比数列的性质: 1.等比数列任意两项间的关系:如果 a n 是等比数列的第 n 项, a m 是等差数列的第 m 项,且 m ≤ n ,公 2. 对于等比数列 {a n } ,若 n + m = u + v ,则 a n ? a m = a u ? a v 也就是: a1 ? a n = a 2 ? a n ?1 = a3 ? a n ? 2 = LL 。 3.若数列 {a n }是等比数列, S n 是其前 n 项的和, k ∈ N * ,那么 S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k 成等比数列。如 比为 q ,则有 a n = a m q n ? m

64444444444S 3k 44444444448 4 7 4 a1 + a2 + a + L + a + ak + L + a2 + a2 + L + a 下图所示: 1444 3 444 k 1+14 44 k 1k +1 2443k 2 3 4 2 3 44 3
Sk S 2k ? S k S3k ? S 2 k

★ ★★ 突 破 重 难 点

1 1 1 1 1 【范例 1】 设S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项和,已知 S 3与 S 4 的等比中项为 S 5 , S 3与 S 4 的等 3 4 5 3 4 差中项为 1,求数列 {a n } 的通项.
1 1 ?1 2 ? 3 S 3 ? 4 S4 = ( 5 S5 ) ? , 解析 由已知得 ? 1 1 ? S + S =2 ?3 3 4 4 ?

? 3a1d + 5d 2 = 0 ? 即? , 5 2a1 + d = 2 ? 2 ?

12 ? ?d = 0 ?d = ? 32 12 解得 ? 或? ? n 5 ∴ a n = 1 或 an = 5 5 ? a1 = 1 ? a = 4 ? 1 32 12 经验证 a n = 1 或 a n = ? n 均满足题意,即为所求. 5 5
【点睛】若 Sn 是等差数列 {a n } 的前 n 项和,则数列 { 点睛】

Sn } 也是等差数列.本题是以此背景设计此题. n

【变式】 变式】已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比相等,且都等于 d(d>0,d≠1).若 a1=b1, a3=3b3,a5=5b5,求 an,bn. 解:由已知 ?

?a1 + 2d = 3a1d 2 ? 4 ?a1 + 4d = 5a1d ?
2

①② ③ ④
2 4 4 2

由①,得 a1(3d -1)=2d 4 由②,得 a1(5d -1)=4d

因为 d≠0,由③与④得 2(3d -1)=5d -1, 即 5d -6d +1=0,解得 d=±1,d=±

5 . 5

∵d>0,d≠1,∴d=

5 .代入③,得 a1=- 5 ,故 b1=- 5 . 5

an=- 5 +

5 5 5 n-1 (n-1)= (n-6) bn=- 5 ×( , ) . 5 5 5

本小题考查等差数列和等比数列的概念、性质,方程(组)的解法以及运算能力和分析能力.

【范例 2】下表给出一个“三角形数阵”:

1 4 1 1 , 2 4 3 3 3 , , 4 8 16
… … … … 已知每一列的数成等差数列;从第三行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第 i 行第 j * 列的数为 aij ( i≥j, i, j∈N ). N (1) 求 a83; (2) 试写出 a ij 关于 i, j 的表达式; (3) 记第 n 行的和为 An,求 An = a n1 + a n 2 + LL + a nn . 解析 (1)由题知 an 1 成等差数列,且 a11 =

1 1 1 , a 21 = ,所以公差 d = , a81 = 2 。 4 2 4 3 3 1 1 1 又 a3 n 成等比数列,且 a 31 = , a32 = .又公比都相等,∴每行的公比是 q = .∴ a83 = 2 × ( ) 2 = . 4 8 2 2 2 1 1 i 1 1 i 1 (2)由(1)知, a i1 = + (i ? 1) ? = ,∴ a ij = a i1 ? ( ) j ?1 = ? ( ) j ?1 = i ( ) j ?1 . 4 4 4 2 4 2 2 1 1 2 1 n ?1 n 1 n ?1 n 1 n ?1 (3) An = a n1 [1 + + ( ) + L + ( ) ] = [2 ? ( ) ] = ? n( ) . 2 2 2 4 2 2 2 点睛】 ——数表中运用数列知识. 【点睛】在新颖背景—— —— 【文】在等比数列{a n}中,前 n 项和为 Sn,若 Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列,则 am, am+2, am+1 成等差数 文 列 (1)写出这个命题的逆命题; (2)判断逆命题是否为真,并给出证明 解析(1)逆命题:在等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 am, am+2, am+1 成等差数列,则 Sm,Sm+2, Sm+1 成等差数列 (2)设{an}的首项为 a1,公比为 q. 由已知得 2am+2= am + am+1

{ }

{ }

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∴2a1q =a1 q m ?1 +a1q
m+1

m

∵a1≠0 q≠0 ,∴2q -q-1=0 , ∴q=1 或 q=-

2

1 2

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当 q=1 时,∵Sm=ma1, Sm+2= (m+2)a1,Sm+1= (m+1)a1, ∴Sm+Sm+1≠2 Sm+2, ∴Sm,Sm+2,Sm+1 不成等差数列

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1 当 q=- 时, 2 S m + 2 = 2

1 m+ 2 2a1[1 ? (? ) m + 2 ] 4 ? ? 1? ? 2 = a1 ?1 ? ? ? ? ? , 1 3 ? ? 2? ? ? ? 1+ 2 1 1 m+ 2 a1[1 ? (? ) m ] a1[1 ? (? ) m +1 ] 4 ? ? 1? ? 2 2 S m + S m +1 = + = a1 ?1 ? ? ? ? ? 1 1 3 ? ? 2? ? ? ? 1+ 1+ 2 2
新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王 新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

∴Sm+Sm+1=2 Sm+2 , ∴Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列 综上得:当公比 q=1 时,逆命题为假;当公比 q≠1 时,逆命题为真 点睛】 【点睛】逆命题中证明需分类讨论是本题的亮点和灵活之处. 【变式】等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n,a1 = 1 + 2,S3 = 9 + 3 2 . 变式】 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项 an 与前 n 项和 Sn ;

(Ⅱ)设 bn =

Sn (n ∈ N? ) ,求证:数列 {bn } 中任意不同的三项都不可能成为等比数列. n

解: (Ⅰ)由已知得 ?

?a1 = 2 + 1, ?

?3a1 + 3d = 9 + 3 2 ? S (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn = n = n + 2 . n

,∴ d = 2 , 故 an = 2n ? 1 + 2,S n = n( n + 2) .

假设数列 {bn } 中存在三项 bp,bq,br ( p,q,r 互不相等)成等比数列,则 bq = bp br .
2

即 ( q + 2) = ( p + 2)( r + 2) . ∴ ( q ? pr ) + (2q ? p ? r ) 2 = 0
2 2

Q p,q,r ∈ N? ,

?q 2 ? pr = 0, ? p+r ? 2 ∴? ∴? ( ∴ ? = pr,p ? r ) = 0, p = r . ? 2 ? ?2q ? p ? r = 0,
2

与 p ≠ r 矛盾.

所以数列 {bn } 中任意不同的三项都不可能成等比数列. ,满足 a1 = an , a2 = an ?1 ....an = a1 即 ai = an ?i +1 ( i 是正整 【范例 3】若有穷数列 a1 , a2 ...an ( n 是正整数) ,就称该数列为“对称数列” 。 数,且 1 ≤ i ≤ n ) (1)已知数列 {bn } 是项数为 7 的对称数列,且 b1 , b2 , b3 , b4 成等差数列, b1 = 2, b4 = 11 ,试写出 {bn } 的 每一项 (2)已知 {cn } 是项数为 2k ? 1( k ≥ 1) 的对称数列,且 ck , ck +1 ...c2 k ?1 构成首项为 50,公差为 ?4 的等差数 列,数列 {cn } 的前 2k ? 1 项和为 S 2 k ?1 ,则当 k 为何值时, S 2 k ?1 取到最大值?最大值为多少? (3)对于给定的正整数 m > 1 ,试写出所有项数不超过 2m 的对称数列,使得 1, 2, 2 2...2m ?1 成为数列中的 连续项;当 m > 1500 时,试求其中一个数列的前 2008 项和 S 2008 解: 1) { bn }的公差为 d , b4 = b1 + 3d = 2 + 3d = 11 , ( 设 则 解得 d = 3 , ∴ 数列 { bn }为 2,,, ,,, . 5 8 11 8 5 2

(2) S 2 k ?1 = c1 + c 2 + L + c k ?1 + c k + c k +1 + L + c 2 k ?1 = 2( c k + c k +1 + L + c 2 k ?1 ) ? c k ,

S 2 k ?1 = ?4( k ? 13 ) 2 + 4 × 13 2 ? 50 ,∴
(3)所有可能的“对称数列”是:

当 k = 13 时, S 2 k ?1 取得最大值为 626.

① 1,, 2 , , m ? 2 , m ?1, m ? 2 , , 2 ,,; 2 2 L 2 2 2 L 2 21

② 1,, 2 , , m ? 2 , m ?1, m ?1, m ? 2 , , 2 ,,; 2 2 L 2 2 2 2 L 2 21

③ 2m ?1, m ? 2 , , 2 ,, 2 22 , , m ? 2 ,m ?1 ; ④ 2m ?1, m ? 2 , , 2 ,, 1,, 2 , , m ? 2 , m ?1 . 2 L 2 2 1,, L 2 2 2 L 2 2 1, 2 2 L 2 2 对于①,当 m ≥ 2008 时, S 2008 = 1 + 2 + 2 + L + 2
2 2007

= 2 2008 ? 1 .

当 1500 < m ≤ 2007 时, S 2008 = 1 + 2 + L + 2

m ?2

+ 2 m ?1 + 2 m ? 2 + L + 2 2 m ? 2009

= 2 m ? 1 + 2 m ?1 ? 2 2 m ? 2009 = 2 m + 2 m ?1 ? 2 2 m ? 2009 ? 1 .

对于②,当 m ≥ 2008 时, S 2008 = 2

2008

? 1 .当 1500 < m ≤ 2007 时, S 2008 = 2 m +1 ? 2 2 m? 2008 ? 1 .
m ? 2008

对于③,当 m ≥ 2008 时, S 2008 = 2 ? 2
m

;当 1500 < m ≤ 2007 时, S 2008 = 2 + 2
m

2009 ?m

? 3. ?2.

对于④,当 m ≥ 2008 时, S 2008 = 2 ? 2
m

m ? 2008

;当 1500 < m ≤ 2007 时, S 2008 = 2 + 2
m

2008 ?m

【点睛】在看懂题目意思基础上,注意各种情况的讨论,考察观察,分析,运用能力 点睛】
a a L a 【文】 如果有穷数列 a1, 2, 3, , m ( m 为正整数)满足条件 a1 = am , a2 = am ?1 ,…, a m = a1 ,即

ai = am ?i +1 ( i = 1,, , ) 2 L m ,我们称其为“对称数列” .
2 5 2 1 4 2 2 4 8 . 例如,数列1,,,, 与数列 8, , , , , 都是“对称数列” (1)设 { bn }是 7 项的“对称数列” ,其中 b1,2,3,4 是等差数列,且 b1 = 2 , b4 = 11 .依次写出 { bn }的 b b b 每一项; (2)设 { c n }是 49 项的“对称数列” ,其中 c25,26, ,49 是首项为 1 ,公比为 2 的等比数列,求 { c n }各项 c L c 的和 S ; (3)设 { d n } 是 100 项的“对称数列” ,其中 d51, 52, ,100 是首项为 2 ,公差为 3 的等差数列.求 { d n } 前 n d Ld 项的和 S n ( n = 1,, , ) . 2 L 100 解: (1)设数列 { bn }的公差为 d ,则 b4 = b1 + 3d = 2 + 3d = 11 ,解得 d = 3 ,



数列 { bn }为 2,,, ,,, . 5 8 11 8 5 2

(2) S = c1 + c 2 + L + c 49 = 2(c 25 + c 26 + L + c 49 ) ? c 25

= 2 1 + 2 + 2 2 + L + 2 24 ? 1 = 2 2 25 ? 1 ? 1 = 2 26 ? 3 = 67108861.
(3) d51 = 2, d100 = 2 + 3 × (50 ? 1) = 149 .由题意得 d1, 2, ,50 是首项为 149 ,公差为 ? 3 的等差数列. d L d 当 n ≤ 50 时, S n = d 1 + d 2 + L + d n = 149n +

(

)

(

)

n(n ? 1) 3 301 (?3) = ? n 2 + n . 2 2 2

当 51 ≤ n ≤ 100 时, S n = d 1 + d 2 + L + d n = S 50 + (d 51 + d 52 + L + d n )
= 3775 + 2 (n ? 50) +

3 2 299 (n ? 50)(n ? 51) ×3 = n ? n + 7500 . 2 2 2

? 3 2 301 1 ≤ n ≤ 50, ?? n + 2 n, ? 综上所述, Sn = ? 2 ? 3 n 2 ? 299 n + 7500, 51 ≤ n ≤ 100. ?2 ? 2


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