全国重点名校2012高三数学第二轮名师精编-15 概率与统计(教师版)

发布于:2021-11-29 09:56:15

高三数学二轮复*第十一讲 高三数学二轮复*第十一讲
★★★高考在考什么 高考在考什么

概率与统计

【考题回放】 考题回放】 1. 重庆卷)从 5 张 100 元,3 张 200 元,2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张, (重庆卷) 则所取 3 张中至少有 2 张价格相同的概率为( ) A.

1 4

B.

79 120

C.

3 4

D.

23 24
1 1 1 C5C3C2 3 = . 选C 3 C10 4

解:可从对立面考虑,即三张价格均不相同, ? P = 1 ?

2. 辽宁卷)一个坛子里有编号为 1,2,…,12 的 12 个大小相同的球,其中 1 到 6 号球 (辽宁卷) 是红球,其余的是黑球. 若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有 1 个球的号码 是偶数的概率是( ) A.

1 22

B.

1 11

C.

3 22

D.

2 11

2 解: 从中任取两个球共有 C12 = 66 种取法,其中取到的都是红球,且至少有 1 个球

的号码是偶数的取法有 C 6 ? C 3 = 12 种取法,概率为
2 2

12 2 = ,选 D. 66 11

3.(广东卷) 甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装 (广东卷) 有 4 个红球、2 个白球,乙袋装有 1 个红球、5 个白球。现分别从甲、乙两袋中各随机抽取一个球, 则取出的两球是红球的概率为______(答案用分数表示) 解:P=

4 1 1 × = 6 6 9

4.(上海卷) 在五个数字 1,,,, 中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的 (上海卷) 2 3 4 5
概率是
1 C22C3 3 = = 0 .3 3 C5 10

(结果用数值表示) .

解:

5. 某篮球运动员在三分线投球的命中率是 恰好投进 3 个球的概率为
3

1 ,他投球 10 次, 2

. (用数值作答)
7

解:由题意知所求概率 p = C 130 ? 1 ? ? 1 ? = 1 5 ? ? ? ? 128 ?2? ?2? 6.(全国 II) 在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N (1,σ )(σ > 0) .若 ξ 在 (0, ( II) 1)
2

内取值的概率为 0.4,则 ξ 在 (0, 内取值的概率为 2) 解:在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ ) σ>0) ( ,正态分布图象 的对称轴为 x=1,ξ 在(0,1)内取值的概率为 0.4,可知,随机变量 ξ 在 (1,2)内取值的概率于 ξ 在(0,1)内取值的概率相同,也为 0.4,这样随机 变量 ξ 在(0,2)内取值的概率为 0.8。
2



★★★高考要考什么 高考要考什么

1.(1)直接利用四种基本事件的概率基本原理,求事件发生的概率 (2)把方程思想融入概率问题,解决实际问题 (3)把概率问题与数列结合起来,运用数列方法解决概率问题 2.离散型随机变量的分布列。 (1)分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为 x1, x2, …, xi, …, ξ取每一个值 xi(i=1,2,……)的概率 P(ξ=xi)=Pi, 则称下表为随机变量ξ的概率分布,简称为ξ的分布列.

(2)分布列的性质:由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质: <1> Pi≥0,i=1,2,……;<2> P1+P2+……=1. (3)二项分布: 如果在一次试验中某事件发生的概率是 p, 那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是 P (ξ = k ) = C n p q
k k n? k

,其中 k=0,1,…,n.q=1-p,于是得到随机变量ξ的概率分布如下:

我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作ξ~B(n,p)其中 n,p 为参数,记 C n p q (4)离散型随机变量ξ的期望:Eξ=x1p1+x2p2+……+xipi+… (5)离散型随机变量ξ的方差:

k

k

n? k

=b(k;n,p).

Dξ = ( x1 ? Eξ )2 p1 + ( x2 ? Eξ )2 p2 + L + ( xi ? Eξ )2 pi + L

(6 ) 若 ξ 为 随 机 变 量 , 则 η = a ξ + b ( a , b为 常 数 , a ≠ 0 )也 为 随 机
变 量 , 且 E η = aE ξ + b , Dη = a 2 D ξ 。

(7)若ξ
3.

B(n,p),则Eξ =np,Dξ =np(1-p).

若 标 准 正 态 分 布 N ( ? , σ 2 ) 总 体 取 值 小 于 x0 的 概 率 用

φ ( x0 ) 表 示 , 即 :
x-?

φ ( x0 ) = P ( x < x0 ) 对于一般正态总体N(? ,σ 2 )来说,取值小于x的概率F(x)=φ ( )来
★★★ 突 破 重 难 点

σ

).

【范例 1】某批产品成箱包装,每箱 5 件.一用户在购进该批产品前先取出 3 箱,再从每箱中任意抽 取 2 件产品进行检验.设取出的第一、二、三箱中分别有 0 件、1 件、2 件二等品,其余为一等品. (Ⅰ)用 ξ 表示抽检的 6 件产品中二等品的件数,求 ξ 的分布列及 ξ 的数学期望; (Ⅱ)若抽检的 6 件产品中有 2 件或 2 件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这批产品级用户 拒绝的概率. 解(1) ξ = 0,1, 2, 3

2 C4 C32 18 9 C1 C 2 C 2 C 1 C1 24 ? 2 = = P( ξ = 1 )= 4 ? 32 + 4 ? 3 2 2 = 2 C52 C5 100 50 , C5 C5 C52 C5 50 , 1 1 1 2 1 C4 C3 C2 C42 C22 15 C4 C2 2 P(ξ = 2) = 2 ? + 2? 2 = P(ξ = 3) = 2 ? 2 = 2 C5 C5 C5 C5 50 , C5 C5 50 所以 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 9 24 15 2 P 50 50 50 50 9 24 15 2 ξ 的数学期望 E( ξ )= 0 × + 1× + 2 × + 3 × = 1.2 50 50 50 50 15 2 17 (2) P( ξ ≥ 2 )= P (ξ = 2) + P (ξ = 3) = + = 50 50 50

P( ξ = 0)=

分析提示: 分析提示:本题以古典概率为背景,其关键是利用排列组合的方法求出 m,n,主要考察分布列的求法 以及利用分布列求期望和概率。 变式: 变式:袋中装着标有数学 1,2,3,4,5 的小球各 2 个,从袋中任取 3 个小球,按 3 个小球上最大数 字的 9 倍计分,每个小球被取出的可能性都相等,用 ε 表示取出的 3 个小球上的最大数字,求: (1)取出 的 3 个小球上的数字互不相同的概率; (2)随机变量 ε 的概率分布和数学期望; (3)计分介于 20 分到 40 分之间的概率. 解: (I)解法一:“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A , 则 P ( A) =
3 1 1 1 C5 ? C2 ? C2 ? C2 2 = 3 C10 3 1 2 1 C5 ? C2 ? C8 1 = ,所以 3 C10 3

解法二:“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同的事件记为 A”,“一次取出的 3 个小球上有两个 数 字 相 同 ” 的 事 件 记 为 B , 则 事 件 A 和 事 件 B 是 互 斥 事 件 , 因 为 P( B) =

1 2 P ( A) = 1 ? P ( B ) = 1 ? = . 3 3 (II)由题意 ξ 有可能的取值为:2,3,4,5. P (ξ = 2) = P (ξ = 4) =
2 1 1 2 C2 ? C2 + C2 ? C2 1 C 2 ? C1 + C 1 ? C 2 2 = ; P (ξ = 3) = 4 2 3 4 2 = ; 3 C10 30 C10 15 2 1 1 2 C6 ? C2 + C6 ? C2 C 2 ? C 1 + C1 ? C 2 8 3 = ; P (ξ = 5) = 8 2 3 8 2 = ; 3 C10 10 C10 15

所以随机变量 ε 的概率分布为

ε

2

3

4

5

1 2 3 30 15 10 1 2 3 8 13 因此 ε 的数学期望为 Eε = 2 × + 3× + 4 × + 5× = 30 15 10 15 3 (Ⅲ)“一次取球所得计分介于 20 分到 40 分之间”的事件记为 C ,则 2 3 13 P (C ) = P (" ε = 3"或 "ε = 4") = P (" ε = 3") + P (" ε = 4") = + = 15 10 30
P

8 15

1 2 1 , . 【范例 2】甲、乙、丙 3 人投篮,投进的概率分别是 , 3 5 2 (Ⅰ)现 3 人各投篮 1 次,求 3 人都没有投进的概率; (Ⅱ)用 ξ 表示乙投篮 3 次的进球数,求随机变量 ξ 的概率分布及数学期望 Eξ.

解: (Ⅰ)记"甲投篮 1 次投进"为事件 A1 , "乙投篮 1 次投进"为事件 A2 , "丙投篮 1 次投进"为事件 1 2 1 A3,"3 人都没有投进"为事件 A .则 P(A1)= ,P(A2)= ,P(A3)= , 3 5 2 ∴ P(A) = P( A1 . A2 . A3 )=P( A1 )·P( A2 )·P( A3 ) 1 2 1 1 = [1-P(A1)] ·[1-P (A2)] ·[1-P (A3)]=(1- )(1- )(1- )= 3 5 2 5 1 ∴3 人都没有投进的概率为 . 5 2 (Ⅱ)解法一: 随机变量 ξ 的可能值有 0,1,2,3, ξ~ B(3, ), 5 2 6 k 2 k 3 3-k (k=0,1,2,3) , Eξ=np = 3× = . P(ξ=k)=C3 ( ) ( ) 5 5 5 5 解法二: ξ 的概率分布为: ξ 0 1 2 3 27 54 36 8 P 125 125 125 125 27 54 36 8 6 Eξ=0× +1× +2× +3× = . 125 125 125 125 5 分析提示: 分析提示:已知概率求概率,主要运用加法公式(互斥)和乘法公式(独立)以及 n 次独立重复试验 (二项分布) ,注意条件和适用的范围,另外利用二项分布期望和方差结论使问题简洁明了。 变式: 变式:假设每一架飞机引擎飞机中故障率为 P,且个引擎是否发生故障是独立的,如果有至少 50%的引擎 能正常运行,问对于多大的 P 而言,4 引擎飞机比 2 引擎飞机更安全? 解 飞机成功飞行的概率: 4 引擎飞机为:
2 3 4 C4 P 2 (1 ? P)2 + C4 P 3 (1 ? P ) + C4 P 4

= 6 P 2 (1 ? P)2 + 4 P 3 (1 ? P) + P 2
1 2 2 引擎飞机为: C2 P (1 ? P ) + C2 P 2 = 2 P (1 ? P ) + P 2

要使 4 引擎飞机比 2 引擎飞机更安全,只要

6 P 2 (1 ? P) 2 + 4 P 3 (1 ? P) + P 4 ≥ 2 P(1 ? P) + P 2 3P 3 ? 8 P 2 + 7 p ? 2 ≥ 0
所以 3P ? 2 ≥ 0, P ≥

2 3

【范例 3】某单位有三辆汽车参加某种事故保险,单位年初向保险公司 缴纳每辆 900 元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车,单位获 9000 元 的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次) 。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率 分别为 ,

1 1 1 , , 且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中: 9 10 11

(1)获赔的概率;(4 分) (2)获赔金额 ξ 的分布列与期望。(9 分) 解:设 Ak 表示第 k 辆车在一年内发生此种事故, k = 1, 3 .由题意知 A1 , A2 , A3 独立, 2, 且 P ( A1 ) =

1 1 1 , P ( A2 ) = , P ( A3 ) = . 9 10 11

(Ⅰ)该单位一年内获赔的概率为

8 9 10 3 1 ? P ( A1 A2 A3 ) = 1 ? P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) = 1 ? × × = . 9 10 11 11
(Ⅱ) ξ 的所有可能值为 0 , 9000 , 18000 , 27000 .

8 9 10 8 P (ξ = 0) = P ( A1 A2 A3 ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) = × × = , 9 10 11 11

P(ξ = 9000) = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) = P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) + P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) + P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
1 9 10 8 1 10 8 9 1 242 11 = × × + × × + × × = = , 9 10 11 9 10 11 9 10 11 990 45

P(ξ = 18000) = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P ( A1 A2 A3 ) = P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) + P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) + P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
1 1 10 1 9 1 8 1 1 27 3 = × × + × × + × × = = , 9 10 11 9 10 11 9 10 11 990 110 1 1 1 1 P(ξ = 27000) = P( A1 A2 A3 ) = P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = × × = . 9 10 11 990
综上知, ξ 的分布列为

ξ
P
求 ξ 的期望有两种解法: 解法一:由 ξ 的分布列得

0 8 11

9000 11 45

18000 3 110

27000 1 990

Eξ = 0 ×

8 11 3 1 + 9000 × + 18000 × + 27000 × 11 45 110 990

=

29900 ≈ 2718.18 (元) . 11

解法二:设 ξ k 表示第 k 辆车一年内的获赔金额, k = 1, 3 , 2, 则 ξ1 有分布列

ξ1
P
故 Eξ1 = 9000 ×

0 8 9

9000 1 9

1 = 1000 . 9 1 1 = 900 , Eξ3 = 9000 × ≈ 818.18 . 同理得 Eξ 2 = 9000 × 10 11

综上有 Eξ = Eξ1 + Eξ 2 + Eξ 3 ≈ 1000 + 900 + 818.18 = 2718.18 (元) . 变式: 变式:猎人在距离 100 米处射击一野兔,其命中率为 0.5,如果第一次射击未中,则猎人进行第二次射击, 但距离 150 米. 如果第二次射击又未中,则猎人进行第三次射击,并且在发射瞬间距离为 200 米. 已 知猎人的命中概率与距离的*方成反比,求猎人命中野兔的概率. 解 记三次射击依次为事件 A,B,C,其中 P ( A) =

1 1 k ,由 = P ( A) = ,求得 k=5000。 2 2 1002

∴ P(B) =

5000 2 5000 1 = , P(C) = = ,∴ 命中野兔的概率为 2 150 9 2002 8

P(A) + P(A ? B) + P( A ? B ? C ) = P( A) + P( A) P( B ) + P( A) P( B ) P(C ) = 1 1 2 1 2 1 95 + (1 ? ) × + (1 ? )(1 ? ) × = . 2 2 9 2 9 8 144

配套练* 1. 设随机变量 ξ 服从标准正态分布 N (0, ,已知 Φ ( ?1.96) = 0.025 , 1) 则 P (| ξ |< 1.96) =( A.0.025 B.0.050 ) C.0.950 D.0.975

解: ξ 服从标准正态分布 N (0, , ? P (| ξ |< 1.96) = P ( ?1.96 < ξ < 1.96) = 1)

Φ (1.96) ? Φ (?1.96) = 1 ? 2Φ (?1.96) = 1 ? 2 × 0.025 = 0.950. 选 C
2. 以 φ (x ) 表示标准正态总体在区间( ? ∞, x )内取值的概率,若随机变量 ξ 服从正态分布 N ( ? , σ 2 ) ,则概率 P ( ξ ? ? < σ ) 等于 (A) φ ( ? + σ ) - φ ( ? ? σ ) (C) φ ( (B) φ (1) ? φ ( ?1) (D) 2φ ( ? + σ )

1? ?

σ

)

解: P ( ξ ? ? < σ ) = P (σ + ? ) ? P ( ? ? σ ) = φ ( ? + σ ? ? ) - φ ( ? ? σ ? ? ) = φ (1) ? φ ( ?1) ,选 B。 σ σ 3.连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n ,记向量 a = ( m,n) 与向量 b = (1 ? 1) , 的夹角为 θ ,则 θ ∈ ? 0, ? 的概率是( A.

? ?

π? 2?



5 12

B.

1 2

C.

7 12

D.

5 6

解: 由向量夹角的定义,图形直观可得,当点 A ( m, n ) 位于直线 y = x 上及其下方时, 满足 θ ∈ ? 0, ? ,点 A ( m, n ) 的总个数为 6 × 6 个,而位于直线 y = x 上及其下方

? ?

π? 2?

的点 A ( m, n ) 有 6 + 1 + C2 + C3 + C4 + C5 = 21 个,故所求概率 =
1 1 1 1

21 7 = ,选 C 36 12


4.将一骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( .. A.

1 9

B.

1 12
3

C.

1 15

D.

1 18

解: 一骰子连续抛掷三次得到的数列共有 6 个,其中为等差数列有三类: (1)公差为 0 的有 6 个; (2)公差为 1 或-1 的有 8 个; (3)公差为 2 或-2 的 有 4 个,共有 18 个,成等差数列的概率为

18 1 = ,选 B 6 3 12

5. 15 名新生,其中有 3 名优秀生,现随机将他们分到三个班级中去,每班 5 人,则每班都分到优秀生的 概率是
3 4 A3 C 12 C 84 5 5 C 15 C 10



6. 如图,已知电路中 3 个开关闭合的概率都是 0.5,

且是相互独立的,则灯亮的概率为

0.625 7.某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数 ξ 的分布列为

ξ
P

1 0.4

2 0.2

3 0.2

4 0.1

5 0.1

商场经销一件该商品,采用 1 期付款,其利润为 200 元;分 2 期或 3 期付款,其利润为 250 元;分 4 期或 5 期付款,其利润为 300 元.η 表示经销一件该商品的利润. (Ⅰ)求事件 A : “购买该商品的 3 位顾客中,至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 P ( A) ; (Ⅱ)求η 的分布列及期望 Eη . 解: (Ⅰ)由 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款” . 知 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款”

P ( A) = (1 ? 0.4)3 = 0.216 , P ( A) = 1 ? P ( A) = 1 ? 0.216 = 0.784 .
(Ⅱ)η 的可能取值为 200 元, 250 元, 300 元.

P (η = 200) = P (ξ = 1) = 0.4 , P (η = 250) = P (ξ = 2) + P (ξ = 3) = 0.2 + 0.2 = 0.4 , P (η = 300) = 1 ? P (η = 200) ? P (η = 250) = 1 ? 0.4 ? 0.4 = 0.2 .

η 的分布列为

η

200

250

300

P

0.4

0.4

0.2

Eη = 200 × 0.4 + 250 × 0.4 + 300 × 0.2 = 240 (元) .
8. 某企业准备投产一批特殊型号的产品,已知该种产品的成本 C 与产量 q 的函数关系式为

C=

q3 ? 3q 2 + 20q + 10(q > 0) 该种产品的市场前景无法确定,有三种可能出现的情况,各种情形发生的 3
市场情形 好 中 差 概率 0.4 0.4 0.2 价格 p 与产量 q 的函数关系式

概率及产品价格 p 与产量 q 的函数关系式如下表所示:

p = 164 ? 3q p = 101 ? 3q p = 70 ? 3q

设 L1,L2,L3 分别表示市场情形好、中、差时的利润,随机变量 ξ q ,表示当产量为 q 而市场前景无法确定的利润. (I)分别求利润 L1,L2,L3 与产量 q 的函数关系式; (II)当产量 q 确定时,求期望 Eξ q ; (III)试问产量 q 取何值时, Eξ q 取得最大值. (Ⅰ)解:由题意可得

q2 q3 2 L1= (164 ? 3q ) ? q ? ( ? 3q + 20q + 10) = ? + 144q ? 10 3 3
同理可得 L2 = ?

(q>0).

q3 + 81q ? 10 3

(q>0)

L3 = ?

q3 + 50q ? 10 (q>0) 3

(Ⅱ) 解:由期望定义可知

Eξ q = 0.4 L1 + 0.4 L2 + 0.2 L3 = 0 .4 × ( ? q3 q3 q3 + 144q ? 10) + 0.4 × (? + 81q ? 10) + 0.2 × (? + 50q ? 10) 3 3 3

=?

q3 + 100q ? 10. 3

(Ⅲ) 解:由(Ⅱ)可知 Eξ q 是产量 q 的函数,设

f (q ) = Eξ q = ?
2

q3 + 100q ? 10(q > 0), 3

得 f ′( q ) = ? q + 100.令f ′( q ) = 0 解得 q = 10, q = ?10 (舍去). 由题意及问题的实际意义(或当 0<q<10 时, f ′( q ) >0;当 q>10 时, f ′( q ) < 0) 可知,当 q=10 时, f(q)取得最大值,即 Eξ q 最大时的产量 q 为 10.


相关推荐

最新更新

猜你喜欢