2012高考数学二轮名师精编精析(5):等差等比

发布于:2021-11-29 10:08:16

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第五讲 等差等比
★★★高考在考什么 【考题回放】 1.在等差数列 A. 0

{a n }

中,

a 6 = a 3 + a8
C. ? 1

,则

S9 =

( A )

B. 1

D. -1 或 1
2

2.(安徽)直角三角形三边成等比数列,公比为 q ,则 q 的值为( D )

A. 2 3.已知数列{ A. 9

B.

5 ?1 2
}的前 n 项和 B. 8

C.

5 +1 2

D.

5 ±1 2
5 < ak < 8
,则 k = ( B )

an

S n = n 2 ? 9n
C. 7

,第 k 项满足

D. 6

An 7 n + 45 an = {a } {b } B B n+3 , b 4.已知两个等差数列 n 和 n 的前 n 项和分别为 A n 和 n , 且 n 则使得 n
为整数的正整数 n 的个数是( D ) A.2 B.3 C.4 D.5 5.设等差数列 A.2

{an } 的公差 d 不为 0,a1 = 9d .若 ak 是 a1 与 a2 k 的等比中项,则 k =(
C.6 D.8

B )

B.4

6. 等比数列

{an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , 2S 2 , 3S3 成等差数列,则 {an } 的公比
1 .3



★★★高考要考什么 等差数列的证明方法:1. 定义法:2.等差中项:对于数列

{a n },若 2a n+1 = a n + a n+ 2

等差数列的通项公式:

a n = a1 + (n ? 1)d
Sn = n(a1 + a n ) 2

------该公式整理后是关于 n 的一次函数 2.
S n = na1 + n(n ? 1) d 2

等差数列的前 n 项和 1.

3.

S n = An 2 + Bn
A= a+b 2 或

等差中项: 如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。即: 2A = a + b 等差数列的性质:1.等差数列任意两项间的关系:如果

an

是等差数列的第 n 项,

am

是等差

a = a m + ( n ? m) d 数列的第 m 项,且 m ≤ n ,公差为 d ,则有 n

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对 于 等 差 数 列

{a n }

a + am = a p + aq , 若 n+m= p+q , 则 n 。 也 就 是 :


a1 +an =a2 +an?1 =a3 +an?2 =L L
3.若数列 成

{a n }是等差数列,S n 是其前 n 项的和,k ∈ N * ,那么 S k ,S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k
差 数 列 。 如 下 图 所 示 :



64444444444S 3 k 44444444448 4 7 4 a1 + a2 + a3 + L + ak + ak +1 + L + a2 k + a2 k +1 + L + a3k 1444 444 2 3 14 244 4 3 144 44 2 3
Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

4.设数列

{a n }是等差数列, S 奇 是奇数项的和, S 偶 是偶数项项的和, S n 是前 n 项的和,
S 偶 ? S奇 =

则有如下性质:

○当 n 为偶数时, 1

S奇 n + 1 n = d n , 2 , ○当 n 为奇数时,则 S 奇 ? S 偶 = a中 , S 偶 2
a n +1 = q ( q ≠ 0) an
2 a n a n + 2 = a n +1

等比数列的判定方法:①定义法:若

②等比中项:若

,则数列

{a n }是等比数列。
等比数列的通项公式:如果等比数列

{a n } 的首项是 a1 ,公比是 q ,则等比数列的通项为

a n = a1 q n ?1


Sn = a1 (1 ? q n ) (q ≠ 1) 1? q Sn = a1 ? a n q (q ≠ 1) 1? q

等比数列的前 n 项和:○ 1
S n = na1

○ 2

○当 q = 1 时, 3

等比中项:如果使 a , G , b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。那么 G = ab 。
2

等比数列的性质: 1.等比数列任意两项间的关系:如果

an

是等比数列的第 n 项,

am

是等差数列的第 m 项,

n?m 且 m ≤ n ,公比为 q ,则有 a n = a m q

对 于 等 比 数 列

{a n }

a ? a = au ? av , 若 n+m =u+v , 则 n m 也 就 是 :


a1 ? a n = a 2 ? a n ?1 = a3 ? a n ? 2 = LL

* 3.若数列 {a n }是等比数列, S n 是其前 n 项的和, k ∈ N ,那么 S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k 成

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64444444444S 3k 44444444448 4 7 4 a1 + a2 + a3 + L + ak + ak +1 + L + a2 k + a2 k +1 + L + a3k 1444 444 2 3 14 244 144 44 4 3 2 3
等比数列。如下图所示: ★★ 突 破 重 难 点
Sk S 2k ? S k S3k ? S 2 k

1 1 1 S 与 S S 设S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项和,已知 3 3 4 4 的等比中项为 5 5 , 【范例 1】 1 1 S 3与 S 4 3 4 的等差中项为 1,求数列 {a n } 的通项.
1 1 ?1 2 ? 3 S 3 ? 4 S4 = ( 5 S5 ) ? ? ?1 S + 1 S = 2 3 4 4 ? , 解析 由已知得 ? 3

? 3a1d + 5d 2 = 0 ? ? 5 ? 2a1 + d = 2 2 即? ,

12 ? ?d = ? ?d = 0 ? 5 ? ? a1 = 4 a =1 ? 解得 ? 1 或

32 12 a n ∴ an = 1 或 n = 5 ? 5

a =1 或 经验证 n

an =

32 12 ? n 5 5 均满足题意,即为所求.

【点睛】若

Sn

是等差数列 {a n } 的前

Sn } n 项和,则数列 n 也是等差数列.本题是以此背景 {

设计此题. 【变式】已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比相等,且都等于 d(d>0,d ≠1).若 a1=b1,a3=3b3,a5=5b5,求 an,bn.

?a1 + 2d = 3a1d 2 ? ? 4 ?a + 4d = 5a1d 解:由已知 ? 1
由①,得 a1(3d2-1)=2d 由②,得 a1(5d4-1)=4d

①② ③ ④

5 因为 d≠0, 由③与④得 2 3d2-1) ( =5d4-1, 即 5d4-6d2+1=0, 解得 d=±1, d=± 5 . 5 ∵d>0,d≠1,∴d= 5 .代入③,得 a1=- 5 ,故 b1=- 5 .
5 5 5 an=- 5 + 5 (n-1)= 5 (n-6) ,bn=- 5 ×( 5 )n-1.
本小题考查等差数列和等比数列的概念、性质,方程(组)的解法以及运算能力和分析能力.

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【范例 2】下表给出一个“三角形数阵”:

1 4 1 1 2,4 3 3 3 4 , 8 , 16
… … … … 已知每一列的数成等差数列; 从第三行起, 每一行的数成等比数列, 每一行的公比都相等. 记 第 i 行第 j 列的数为 aij ( i≥j, i, j∈N*). (1) 求 a83; (2) 试写出 a ij 关于 i, j 的表达式; (3) 记第 n 行的和为 An,求

An = a n1 + a n 2 + LL + a nn .
a11 = 3
.又公比都相等,∴每行的公比是

解析 (1)由题知

{ } 成等差数列,且
an 1
3

1 1 1 d = , a81 = 2 , a 21 = 4 4 2 ,所以公差 。

{a } 成 等 比 数 列 , 且 a31 = 4 , a32 = 8 又
3n

q=

1 1 1 a83 = 2 × ( ) 2 = 2 .∴ 2 2. a i1 = 1 1 i 1 1 i 1 + (i ? 1) ? = a ij = a i1 ? ( ) j ?1 = ? ( ) j ?1 = i ( ) j ?1 4 4 4 ,∴ 2 4 2 2 .

(2)由(1)知,

An = a n1[1 +
(3)

1 1 1 n 1 n 1 + ( ) 2 + L + ( ) n ?1 ] = [2 ? ( ) n ?1 ] = ? n( ) n ?1 2 2 2 4 2 2 2 .

【点睛】在新颖背景——数表中运用数列知识. 【文】 在等比数列{a n}中, n 项和为 Sn, Sm, 前 若 Sm+2, Sm+1 成等差数列, am, am+2, 则 am+1 成等差数列 (1)写出这个命题的逆命题; (2)判断逆命题是否为真,并给出证明 解析(1)逆命题:在等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 am, am+2, am+1 成等差数 列,则 Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列 (2)设{an}的首项为 a1,公比为 q. 由已知得 2am+2= am + am+1
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王kc@ 1王o.c王 王 新新 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w @ 1 o 王kc新王c王 新 新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王 新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

∴2a1qm+1=a1 q

m ?1

+a1qm

1 ∵a1≠0 q≠0 ,∴2q2-q-1=0 , ∴q=1 或 q=- 2

新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源h源/源源源源源源x/c 源 t : w .x y .c /w w p k t o j g m 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 x @ 1 .c m w c 2 o k t 6 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源h源/源源源源源源x/c 源 t : w .x y .c /w w p k t o j g m 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x 新 新 王 w c 王 m 王k@ 12 c王 t o 6 .

当 q=1 时,∵Sm=ma1, Sm+2= (m+2)a1,Sm+1= (m+1)a1, ∴Sm+Sm+1≠2 Sm+2, ∴Sm,Sm+2,Sm+1 不成等差数列

新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

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1 当 q=- 2 时,

2Sm+ 2

1 m+ 2 2a1[1 ? (? ) m + 2 ] 4 ? ? 1? ? 2 = = a1 ?1 ? ? ? ? ? 1 3 ? ? 2? ? ? ? 1+ 2 ,

1 1 m+ 2 a1[1 ? (? ) m ] a1[1 ? (? ) m +1 ] 4 ? ? 1? ? 2 2 S m + S m +1 = + = a1 ?1 ? ? ? ? ? 1 1 3 ? ? 2? ? ? ? 1+ 1+ 2 2
∴Sm+Sm+1=2 Sm+2 , ∴Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列 综上得:当公比 q=1 时,逆命题为假;当公比 q≠1 时,逆命题为真 【点睛】逆命题中证明需分类讨论是本题的亮点和灵活之处.
新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 王kc新王oc王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 王kc新王oc王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新

【变式】等差数列

{an } 的前 n 项和为 Sn,a1 = 1 + 2,S3 = 9 + 3 2 .

(Ⅰ)求数列

{an } 的通项 an 与前 n 项和 Sn ;
Sn ( n ∈ N? ) {b } n ,求证:数列 n 中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

bn =
(Ⅱ)设

?a1 = 2 + 1, ? ? ?3a + 3d = 9 + 3 2 ,∴ d = 2 , 故 解: (Ⅰ)由已知得 ? 1

an = 2n ? 1 + 2,Sn = n(n + 2) .
bn =
(Ⅱ)由(Ⅰ)得

Sn = n+ 2 n .

假设数列

{bn }

bp,bq,br
中存在三项

b = bp br ( p,q,r 互不相等) 成等比数列, q 则 .
2

2 2 即 ( q + 2) = ( p + 2)( r + 2) . ∴ ( q ? pr ) + (2q ? p ? r ) 2 = 0

Q p,q,r ∈ N? ,
2 ?q 2 ? pr = 0, ? p+r ? 2 ∴? ∴? ( ∴ ? = pr,p ? r ) = 0, p = r 2q ? p ? r = 0, 2 ? ? ? .

与 p ≠ r 矛盾.

所以数列

{bn }

中任意不同的三项都不可能成等比数列.

【范例 3】若有穷数列

a1 , a2 ...an

( n 是正整数) 满足 ,

a1 = an , a2 = an ?1 ....an = a1



ai = an ?i +1

( i 是正整数,且 1 ≤ i ≤ n ) ,就称该数列为“对称数列” 。

(1)已知数列

{bn } 是项数为 7 的对称数列,且 b1 , b2 , b3 , b4 成等差数列, b1 = 2, b4 = 11 ,
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试写出

{bn } 的每一项 {cn } 是项数为 2k ? 1( k ≥ 1) 的对称数列,且 ck , ck +1 ...c2 k ?1 构成首项为
50,公差

(2)已知

为 ?4 的等差数列, 数列 最大值为多少?

{cn } 的前 2k ? 1 项和为 S2 k ?1 , k 为何值时,S2 k ?1 取到最大值? 则当
2 m?1

(3)对于给定的正整数 m > 1 ,试写出所有项数不超过 2m 的对称数列,使得1, 2, 2 ...2

S 成为数列中的连续项;当 m > 1500 时,试求其中一个数列的前 2008 项和 2008
解: (1)设

{bn }的公差为 d ,则 b4 = b1 + 3d = 2 + 3d = 11 ,解得

d = 3 ,∴

数列

{ bn }

5 8 11 8 5 2 为 2,,, ,,, .

(2)

S 2 k ?1 = c1 + c 2 + L + c k ?1 + c k + c k +1 + L + c 2 k ?1 = 2( c k + c k +1 + L + c 2 k ?1 ) ? c k
,∴



S 2 k ?1 = ?4( k ? 13 ) 2 + 4 × 13 2 ? 50
(3)所有可能的“对称数列”是:

S 当 k = 13 时, 2 k ?1 取得最大值为 626.

1,, 2 , , m ? 2 , m ?1, m ? 2 , , 2 ,, 2 2 L 2 2 2 L 2 21


1,, 2 , , m ? 2 , m ?1, m ?1, m ? 2 , , 2 ,,; 2 2 L 2 2 2 2 L 2 21 2m ?1, m ? 2 , , 2 ,, 2 22 , , m ? 2 ,m ?1 2 L 2 2 1,, L 2 2






2m ?1, m ? 2 , , 2 ,, 1,, 2 , , m ? 2 , m ?1 . 2 L 2 2 1, 2 2 L 2 2 对于①,当 m ≥ 2008 时, 当 1500 < m ≤ 2007 时,





S 2008 = 1 + 2 + 2 2 + L + 2 2007 = 2 2008 ? 1



S 2008 = 1 + 2 + L + 2 m ? 2 + 2 m ?1 + 2 m ? 2 + L + 2 2 m ? 2009

= 2 m ? 1 + 2 m ?1 ? 2 2 m ? 2009 = 2 m + 2 m ?1 ? 2 2 m ? 2009 ? 1 . S 2008 = 2 对 于 ② , 当 m ≥ 2008 时 , S 2008 = 2 m +1 ? 2 2 m ? 2008 ? 1 . S =2 ?2 对 于 ③ , 当 m ≥ 2008 时 , 2008
m m ? 2008 2008

?1

. 当 1500 < m ≤ 2007 时 ,

; 当 1500 < m ≤ 2007 时 ,

S 2008 = 2 m + 2 2009?m ? 3 . S =2 ?2 对 于 ④ , 当 m ≥ 2008 时 , 2008
m m ? 2008

; 当 1500 < m ≤ 2007 时 ,

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S 2008 = 2 m + 2 2008?m ? 2 .
【点睛】在看懂题目意思基础上,注意各种情况的讨论,考察观察,分析,运用能力
a a L a 【文】如果有穷数列 a1, 2, 3, , m ( m 为正整数)满足条件

a1 = am



a2 = am ?1

,…,

a m = a1

,即

ai = am?i +1

2 L m ,我们称其为“对称数列” ( i = 1,, , ) .

2 5 2 1 4 2 2 4 8 . 例如,数列 1,,,, 与数列 8, , , , , 都是“对称数列”

(1)设

{bn }是 7 项的“对称数列” b b b ,其中 b , , , 是等差数列,且 b1 = 2 , b4 = 11 .依
1 2 3 4

次写出

{bn }的每一项; { cn }是 49 项的“对称数列” ,其中 c
25

(2)设

,26, ,49 是首项为 1 ,公比为 2 的等比数列, c L c



{ cn }各项的和 S ; { d n } 是 100 项的“对称数列” ,其中 d
51

(3)设

, 52, ,100 是首项为 2 ,公差为 3 的等差数 d Ld

列.求

{ d n } 前 n 项的和 S n ( n = 1,, , ) . 2 L 100 {bn }的公差为 d ,则 b4 = b1 + 3d = 2 + 3d = 11 ,解得
d = 3,

解: (1)设数列



数列

{bn }为 2,,, ,,, . 5 8 11 8 5 2

(2)

S = c1 + c 2 + L + c 49 = 2(c 25 + c 26 + L + c 49 ) ? c 25

= 2 1 + 2 + 2 2 + L + 2 24 ? 1 = 2 2 25 ? 1 ? 1 = 2 26 ? 3 = 67108861.
d L d (3)d51 = 2, d100 = 2 + 3 × (50 ? 1) = 149 . 由题意得 d1, 2, ,50 是首项为 149 , 公差为 ? 3 的 等差数列.

(

)

(

)

当 n ≤ 50 时,

S n = d1 + d 2 + L + d n

= 149n +

n(n ? 1) 3 301 (?3) = ? n 2 + n 2 2 2 .

当 51 ≤ n ≤ 100 时,

S n = d 1 + d 2 + L + d n = S 50 + (d 51 + d 52 + L + d n )
= 3775 + 2?(n ? 50) +

3 2 299 (n ? 50)(n ? 51) n + 7500 ×3 = n ? 2 2 2 .

? 3 2 301 1 ≤ n ≤ 50, ?? 2 n + 2 n, ? Sn = ? ? 3 n 2 ? 299 n + 7500, 51 ≤ n ≤ 100. ?2 ? 2 综上所述,

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